Geometri enligt Okultur

Det viktigaste innan provet

Man kan tycka att geometri är lätt eller svårt, men det finns en stor fördel när man pluggar. Det finns tydliga regler för hur man räknar Omkrets, Area och Volym och man behöver inte alls veta varför man räknar på ett visst sätt. Bara hur man gör det. 

Det här är de punkter jag tänker är viktigast inför provet. Tydligare (och mycket längre) förklaringar kommer längre ner.

1. Formler för Area och Volym

Det är inte så många formler att lära sig, så även om jag inte lyckas förklara dem alla kan man lätt memorera dem och använda dem på provet. Jag lägger dem sist eftersom de är lättare att begripa efter det jag försökt förklara i texten nedan. Det finns sex formler, och kan man de flesta kommer man långt.

2. Enhetsomvandling

Det kommer vara många frågor som innehåller enhetsomvandling, och det är enklare än man tror. En förklaring finns naturligtvis längre ner.

3. Fundera över trepoängare

Det finns inte så många sätt att göra Geometri lättare eller svårare. De sätt som finns är de som brukar användas på prov. Jag har beskrivit de jag kan komma på längre ner. Lyckas man undvika en eller två fällor läraren har lagt ut kan det vara 6p. 

Vad är Geometri?

Geometri handlar om att beräkna olika figurers längd, omkrets, area (yta) eller volym. 

Att mäta en sträcka (längd) är lätt. En sträcka mäts i meter.

Omkrets är även det en sträcka/längd och mäts i meter.

En area (yta) beräknas olika på olika figurer. Area mäts i kvadratmeter som skrivs m2.

Volym är också lätt att räkna ut, men precis som med area måste man veta hur man skall räkna beroende på om det är en fyrkant, triangel eller cirkel. Volym mäts i kubikmeter som skrivs m3. 

Kvadratmeter och Kubikmeter – Vad tusan är det?

När du räknade med potenser lärde du dig att man kan skriva antingen tio upphöjt till två eller 100 (10×10) och att värdet är detsamma. Men eftersom man bara kan multiplicera tal så kan man inte “räkna ut” meter x meter, utan det blir en egen enhet, kvadratmeter eller m2.

Volym är samma sak, fast här är det meter x meter x meter och blir då meter upphöjt till tre, alltså m3, eller kubikmeter. 

Ett viktigt exempel är en decimeter. Sträckan är 1 dm, Arean är av en kvadrat med sidan 1 dm är alltså (1 dm x 1 dm) en kvadratdecimeter eller dm2 och volymen av en kub med sidan 1 dm en kubikdecimeter eller dm3 (1 dm x 1 dm x 1dm).

Varför är detta viktigt?

Kubikmeter m3 (eller kubikdecimeter dm3) är den matematiska enheten för volym. I vanliga fall brukar vi använda liter när vi pratar om volym. Vi säger att ett paket mjölk är 1l, inte en dm3. En stor flaska Cola 1,5l, inte 1,5 dm3 osv. 

Eftersom man omvandlar liter, deciliter, centiliter osv. på samma vis som en sträcka (m, dm, cm, mm) är det lätt att göra detsamma när man omvandlar kubikmeter till kubikdecimeter eller liknande. 

Det kommer komma på provet. Att du skall omvandla liter, centiliter, milliliter till kubikmeter och omvänt, kubikmeter till liter t.ex. Det är mattelärares favoritsätt att försvåra mattetal och prov och ett lätt sätt att missa (eller få) många poäng på ett prov i Geometri.

Så hur skall man tänka?

En liter är en kubik-decimeter (decimeter upphöjt till tre)

Men så lätta tal kommer du tyvärr inte få, och då gäller det att räkna på rätt sätt. 

Jag tycker att det lättaste är att oavsett enhet börja med att omvandla det till kubikdecimeter eller liter. 15 ml = 0.015 liter eller 2 m3= 2000 dm3.

Att jag räknar så är för att en liter och en kubikdecimeter är den enda “raka” kopplingen mellan de två olika sätten att uttrycka volym. Det förenklar matematiken, i alla fall för mig.

Räkna med Kvadrat och Kubik

Allt man räknat sedan förskoleklass har utgått från att saker är antingen 10 gånger större eller en tiondel av något. Positionssystemet är uppbyggt så. 10-tal är 10 gånger större än ental osv. Decimaler på samma vis fast division. Meter, decimeter och centimeter likaså. 

Då är det väldigt lätt att tänka på samma vis när det gäller Area eller Volym. 

Att man tänker att 1 kvadratmeter är 10 kvadratdecimeter eftersom 1 meter är 10 decimeter. (1 x 10). Det känns logiskt, och det är så man alltid räknat. 

Men eftersom enheten är meter upphöjt till två så blir även multiplikationen upphöjt till två (1 x 10 upphöjt till två = 1 x 10 x 10 = 1 x 100) vilket betyder att en m2är 100 dm2.

Att man tänker att en dm3 är 0,1 (1 delat med 10) m3 när det egentligen är 0,001 m3 (1 delat med 10 delat med 10 delat med tio).  

Varför är det så?

Vi tittar på en decimeter, kvadratdecimeter (dm2) och kubikdecimeter (dm3) igen.

Sträckan = 1 dm

Arean = 1 dm x 1 dm = 1 dm2

Volymen = 1 dm x 1 dm x 1 dm = 1 dm3 

Men vad händer om vi räknar med cm? 

Sträckan = 1 dm = 10 cm (dm är 10x cm)

Arean = 10 cm x 10 cm = 100 cm2 eller 1 dm2är 102=100) 100 cm2 )

Volymen = 10 cm x 10 cm x 10 cm = 1000 cm3 eller 1 dm3är 103= 1000 cm3)

En dm är 10 gånger längre än en cm, men en kvadratdecimeter är 100 gånger större än en kvadratcentimeter och en kubikdecimeter är 1000 gånger större än en kubikcentimeter. 

Troliga trepoängsfrågor

Beräkna Area eller Volym på andra former

I princip alla prov på Geometri innehåller minst en fråga där man skall räkna ut Area eller Volym på ett föremål eller på en form man inte vet vilka mått man skall använda.

Alla dessa former är sammansatta former av figurer du kan räkna ut. Sedan får man räkna ihop dem. Ett exempel är ett hus från sidan med ett fönster. Huskroppen består av en rektangel och taket av en triangel. Fönstret av en kvadrat. Alla dessa former vet du hur du räknar ut arean på, och då blir talet lätt. 

Ibland kan det vara svårare som med en halvcirkel eller en fjärdedels cirkel, men samma sak där. Du kan räkna ut cirkelns area/omkrets och kan sedan dela den med 2 eller fyra i dessa exempel. 

Beräkna area av objekt i 3D

Ett annat vanligt trick är att fråga om Arean på t.ex. en kub, ett tält, ett hus eller något annat. Så länge man är noga med att få med alla sidor (sex kvadrater på en kub som exempel) kan man lätt räkna ut totala arean.

Beräkna area/volym i olika enheter

Garanterat kommer många sådana frågor. 5m3-50dm3= är ett exempel. Gör om den större enheten till den mindre. Sedan enkel matematik.  

Som trepoängare kommer den antagligen ha en enhetsomvandling från eller till liter också. Även det vet du hur man gör. Omvandla alla kubik-någonting till kubikdecimeter dm2 och då har du volymen i liter också. Om det är decimaler skall man svara i rätt enhet ofta. 0.1 l är 1dl. 0.001 är 1 cl. Ibland står det hur, ibland inte.

Alla formler

Omkrets

• Kvadrat – Höjd x Bas (Kvadrat är ju samma längd så kan skrivas som “sida x 4)
• Rektangel – Längd x 2 + höjd x 2 (Längden på alla fyra sidor alltså)
• Triangel – Alla sidors längd (3 stycken alltså)
• Cirkel – Diameter x 3.14 (𝝅)

Area

• Kvadrat – Höjden x Basen (dvs. en sida x en annan sida)
• Rektangel – Samma som kvadrat. En lång sida x en kort sida
• Triangel – Höjden gånger basen delat med två. En triangel är alltid en halv rektangel även fast det känns ologiskt ibland.
• Cirkel – Pi (3.1415) x radien i kvadrat 𝝅 r2. Radien är sträckan från mittpunkten till cirkelns kant. Lika lång åt alla håll. Radie x radie x 3.14 så har du Arean på en cirkel.

Volym

• Kub – Höjden x Basen x Djupet (Eller arean gånger Djupet)
• Rätblock – En rektangel i 3D och räknas som en kub. Höjd x Bas x Djup
• Pyramid – Basen x höjden delat med 3 En pyramid är alltid ⅓ av ett rätblock
• Prisma – Basen x höjden